Question

（2014•金山區一模）定義：對函數y=f（x），對給定的正整數k，若在其定義域內存在實數x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k），則稱函數f（x）為“k性質函數”．
（1）若函數f（x）=2^x為“1性質函數”，求x₀；
（2）判斷函數f(x)=

1

x

是否為“k性質函數”？說明理由；
（3）若函數f(x)=lg

a

x2+1

為“2性質函數”，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：做題時要緊扣新概念“k性質函數”（滿足f（x₀+k）=f（x₀）+f（k））．
（1）由于函數f（x）=2^x為“1性質函數”，則f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），代入函數解析式可得x₀的值；
（2）開放性命題，假設函數f(x)=

1

x

是為“k性質函數”．則滿足f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）得到關于x₀的二次方程，若方程有解，則函數f（x）=

1

x

是為“k性質函數”，若方程無解，則函數f(x)=

1

x

不是為“k性質函數”；
（3）由于函數f(x)=lg

a

x2+1

為“2性質函數”，則f（x₀+2）=f（x₀）+f（2），代入解析式得到關于x₀的二次方程，a為方程的參數，由于方程一定有解，得到關于a的不等式解出即可．

解答：（本題滿分（16分），第（1）小題（4分），第2小題（6分），第3小題6分）
解：（1）由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得2x0+1=2x0+2，…（2分）
∴2x0=2，∴x₀=1．                                           …（4分）
（2）若存在x₀滿足條件，
則

1

x0+k

=

1

x0

+

1

k

即x02+kx0+k2=0，…（7分）
∵△=k²-4k²=-3k²＜0，∴方程無實數根，與假設矛盾．
∴f(x)=

1

x

不能為“k性質函數”．                                …（10分）
（3）由條件得：lg

a

(x0+2)2+1

=lg

a

x 2 0 +1

+lg

a

5

，…（11分）
即

a

( x 2 0 +2)2+1

=

a2

5( x 2 0 +1)

（a＞0），
化簡得(a-5)

x

2 0

+4ax0+5a-5=0，…．（13分）
當a=5時，x₀=-1；                                                …（14分）
當a≠5時，由△≥0，
16a²-20（a-5）（a-1）≥0即a²-30a+25≤0，
∴15-10

2

≤a≤15+10

2

．
綜上，a∈[15-10

2

，15+10

2

]                             …（16分）

點評：此題是個難題，考查創新概念及其應用，特別是問題（2）的設問形式，增加了題目的難度，綜合性強．解決本題的靈魂在于“轉化”，很多問題在實施“化難為易”、“化生為熟”中得以解決．求滿足條件的參數的取值范圍的題目是高考常考必考的．