Question

某新興城市擬建設(shè)污水處理廠，現(xiàn)有兩個(gè)方案：
方案一：建設(shè)兩個(gè)日處理污水量分別為x_l和x₂（單位：萬(wàn)m³/d）的污水廠，且3≤x_l≤5，3≤x₂≤5．
方案二：建設(shè)一個(gè)日處理污水量為x_l+x₂（單位：萬(wàn)m³/d）的污水廠．
經(jīng)調(diào)研知：
（1）污水處理廠的建設(shè)費(fèi)用P（單位：萬(wàn)元）與日處理污水量x（單位：萬(wàn)m³/d）的關(guān)系為P=40x²；
（2）每處理1m³的污水所需運(yùn)行費(fèi)用Q（單位：元）與日處理污水量x（單位：萬(wàn)m³/d）的關(guān)系為：Q=

0.4  (6≤x≤10) 0.6    (3≤x≤5)

．
（I）如果僅考慮建設(shè)費(fèi)用，哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)？
（Ⅱ）若x_l+x₂=8，問(wèn)：只需運(yùn)行多少年，方案二的總費(fèi)用就不超過(guò)方案一的總費(fèi)用？
注：一年以250個(gè)工作日計(jì)算；總費(fèi)用=建設(shè)費(fèi)用+運(yùn)行費(fèi)用．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得出兩個(gè)方案的建設(shè)費(fèi)用，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
（Ⅱ）由題意得出兩個(gè)方案的總費(fèi)用，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）如果僅考慮建設(shè)費(fèi)用，若使用方案一：P₁=40

x

2 1

+40

x

2 2

，
若使用方案二：P2=40(x1+x2)2=40

x

2 1

+40

x

2 2

+80x1x2
∵3≤x_l≤5，3≤x₂≤5，∴P₂＞P₁．
故使用方案一更經(jīng)濟(jì)．
（Ⅱ）由題意，運(yùn)行n年后，Q1=40

x

2 1

+0.6x1×250n+40

x

2 2

+0.6x2×250n，
Q2=40(x1+x2)2+0.4(x1+x2)×250n，
由Q₁≥Q₂，化為0.2（x₁+x₂）×250n≥80x₁x₂，
∵x₁+x₂=8，∴5n≥x₁x₂，∴5n≥x₁（8-x₁）．
∵x₁∈[3，5]，∴x1(8-x1)=-

x

2 1

+8x1=-(x1-4)2+16，∴x₁（8-x₁）∈[15，16]，
∴當(dāng)x₁=3或5時(shí)，即x₁（8-x₁）=15，經(jīng)過(guò)3年方案二與方案一的總費(fèi)用相等．
當(dāng)x₁∈（3，5]時(shí)，x₁（8-x₁）∈（15，15]，只需經(jīng)過(guò)4年方案二的總費(fèi)用就少于方案一的總費(fèi)用．

點(diǎn)評(píng)：正確得出兩個(gè)方案費(fèi)用的表達(dá)式并熟練掌握基本不等式的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．