Question

已知函數．
（I）求函數f（x）的周期及單調遞增區間；
（II）在△ABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知點經過函數f（x）的圖象，b，a，c成等差數列，且，求a的值．

Answer 1

解：（I）∵函數f（x）==sincos2x-cossin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）．
故函數f（x）的周期為T==π．
再令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故單調遞增區間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
（II）在△ABC中，由題意可得f（A）=sin（2A+）=，∴2A+=，∴A=．
再由 b，a，c成等差數列，可得2a=b+c，再由 可得 bc•cosA=9，∴bc=18．
再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=4a²-3×18，解得 a²=18，
∴a=3．
分析：（I）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為sin（2x+），由此求得周期的值，再令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數的單調遞增區間．
（II）在△ABC中，由f（A）=sin（2A+）=，求得A=．再由 b，a，c成等差數列，求得bc=18，再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA 求得a的值．
點評：題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性、單調性和求法，余弦定理以及等差數列的性質應用，屬于中檔題．