Question

已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0．
（1）若M（x，y）為圓C上任一點，求K=

y-3

x-6

的最大值和最小值；
（2）已知點N（-6，3），直線kx-y-6k+3=0與圓C交于點A、B，當k為何值時

NA

•

NB

取到最小值．

Answer 1

分析：（1）由K=

y-3

x-6

可得kx-y-6k+3=0，由題意可得d=

|2k-7-6k+3|

1+k2

≤2

2

，解不等式可求
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線kx-y-6k+3=0與橢圓方程聯立，結合方程的思想可求k的范圍，及x₁+x₂，x₁x₂，然后代入向量的數量積的坐標表示可求

NA

•

NB

，結合k的范圍可求

解答：解：（1）由題意可得⊙C：（x-2）²+（y-7）²=8
由K=

y-3

x-6

可得kx-y-6k+3=0
∴d=

|2k-7-6k+3|

1+k2

≤2

2

解可得-2-

3

≤k≤-2+

3

∴Kmax=-2+

3

，Kmin=-2-

3

（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
把直線kx-y-6k+3=0與橢圓方程聯立可得（1+k²）x²-4（3k²+2k+1）x+12（3k²+4k+1）=0

△≥0可得-2-

3

≤k≤-2+

3

∴x₁+x₂=

4(3k2+2k+1)

1+k2

，x₁x₂=

12(3k2+4k+1)

1+k2

∵kx-6k+3=y
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+6-12k，y₁y₂=（kx₁+3-6k）（kx₂+3-6k）

NA

•

NB

=（x₁+6）（x₂+6）+（y₁-3）（y₂-3）
=x₁x₂+6（x₁+x₂）+36+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9
=(1+k2)x1x2+(6-6k2)(x1+x2)+36（1+k²）
=24[7+

4(k-1)

1+k2

]
=24[7+

1

(k-1)+ 2 k-1 +2

]
當且僅當k-1=

2

k-1

即k=1-

2

時

NA

•

NB

取到最小值

點評：本題主要考查了斜率的幾何意義的應用，點到直線的距離公式的應用，直線與橢圓相交關系的綜合應用，還考查了一定 的計算推理的能力