Question

【題目】橢圓，右焦點(diǎn)為，是斜率為的弦，的中點(diǎn)為，的垂直平分線交橢圓于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為.當(dāng)時，直線的斜率為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，求的取值范圍；

（3）若直線，直線的斜率滿足，判斷并證明是否為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是定值，證明過程見解析.

【解析】

（1）先設(shè)，，根據(jù)題意，得到，兩式作差，根據(jù)弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意，求出，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到，兩式聯(lián)立，即可求出結(jié)果；

（2）先設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，

根據(jù)韋達(dá)定理，求出，得到的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，

求出，表示出，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，表示出，進(jìn)而可根據(jù)換元法求取值范圍；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，由，求出，再由弦長公式，分別求出與，進(jìn)而可得出結(jié)果.

（1）設(shè)，，

由題意，，兩式作差，得，

整理得：，

又是斜率為的弦，的中點(diǎn)為，當(dāng)時，直線的斜率為，

所以，即，即①，

又橢圓右焦點(diǎn)為，所以②，

由①②解得：，，

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)直線的方程為：，

由消去得，，

設(shè)，，

則，所以，

故，

因?yàn)?/span>是的垂直平分線，所以的方程為：，

即，

由消去得，，

設(shè)，，

則，

所以，

即的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因此

，

又原點(diǎn)到直線的距離，

所以，

令，則；

（3）由（2）可得：，

所以，

因?yàn)橹本�，直線的斜率滿足，

所以，整理得：，所以，

所以，

，

因此.

即取定值.