Question

對于函數y=f（x），x∈D，若同時滿足以下條件：
①函數f（x）是D上的單調函數；
②存在區間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
則稱函數f（x）是閉函數．
（1）判斷函數f(x)=2x+

4

x

，x∈[1，10]；g（x）=-x³，x∈R是不是閉函數，并說明理由；
（2）若函數f(x)=

x+2

+k，x∈[-2，+∞）是閉函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要判斷一個函數是否是閉函數，關鍵是判斷函數f（x）是否滿足條件①函數f（x）是D上的單調函數；②存在區間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．只要有一個條件不滿足，即可判定函數f（x）不是閉函數．
（2）若函數f(x)=

x+2

+k，x∈[-2，+∞）是閉函數，則其必滿足①函數f（x）是D上的單調函數；②存在區間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．由于函數在定義域為增函數，故關鍵是要找出合適的k值，使條件②滿足，即：
f（a）=a且f（b）=b，由此構造關于k的不等式組，解不等式組即可得到答案．

解答：解：（1）f′(x)=2-

4

x2

=

2(x2-2)

x2

令f'（x）=0
解得x=

2

(x=-

2

舍）
∵x∈[1，

2

)時f'（x）＜0；
x∈(

2

，10]時f'（x）＞0
∴f（x）在[1，

2

)上是減函數，在(

2

，10]上是增函數
∴函數f（x）不是[1，10]上的單調函數
∴f(x)=2x+

4

x

不是閉函數．
②∵g'（x）=-x²≤0∴g（x）=-x³在R上是減函數，
設g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
則

b=-a3 a=-b3 a＜b

，解得

a=-1 b=1

∴存在區間[-1，1]⊆R，
使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
∴函數g（x）=-x³是閉函數
（2）函數f(x)=

x+2

+k在定義域上是增函數
設函數f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
則

a=k+ a+2 b=k+ b+2

，
故a，b是方程x=k+

x+2

的兩個不相等的實根，
命題等價于

x2-(2k+1)x+k2-2=0 x≥-2 x≥k

有兩個不相等的實根，
當k≤-2時，

2k+1 2 ＞-2 (2k+1)2-4(k2-2)＞0 22-(2k+1)k+k2-2≥0

，
解得k＞-

9

4

，∴k∈(-

9

4

，-2]．
當k＞-2時，

2k+1 2 ＞k (2k+1)2-4(k2-2)＞0 k2-(2k+1)k+k2-2≥0

，無解．
∴k的取值范圍是(-

9

4

，-2]

點評：利用導數研究函數的單調性比用函數單調性的定義要方便，但應注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）僅是f（x）在某個區間上為增函數（或減函數）的充分條件，在（a，b）內可導的函數f（x）在（a，b）上遞增（或遞減）的充要條件應是f′（x）≥0[或f′（x）≤0]，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子區間內都不恒等于0，這就是說，函數f（x）在區間上的增減性并不排斥在區間內個別點處有f′（x0）=0，甚至可以在無窮多個點處f′（x0）=0，只要這樣的點不能充滿所給區間的任何一個子區間，因此，在已知函數f（x）是增函數（或減函數）求參數的取值范圍時，應令f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立，解出參數的取值范圍（一般可用不等式恒成立理論求解），然后檢驗參數的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，則參數的這個值應舍去，若f′（x）不恒為0，則由f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立解出的參數的取值范圍確定．