Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．若?常數(shù)c＞0，對(duì)?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P．給定下列三個(gè)函數(shù)：
①f（x）=2^x；     ②f（x）=sinx；     ③f（x）=x³-x．
其中，具有性質(zhì)P的函數(shù)的序號(hào)是

①③

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）=2^x 是R上的增函數(shù)，故滿足條件．因?yàn)閒（x）=sinx是周期函數(shù)，故不滿足條件．對(duì)于f（x）=x³-x，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的減區(qū)間為（-

3

3

，

3

3

）內(nèi)遞減，要想滿足f（x+c）＞f（x-c），只須c＞

3

3

就可以了，故滿足條件，從而得出結(jié)論．

解答：解：①因?yàn)閒（x）=2^x 是R上的增函數(shù)，所以滿足f（x+c）＞f（x-c），故此函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P．
 ②因?yàn)閒（x）=sinx的最小正周期為2π，不是在R上的增函數(shù)，所以不滿足f（x+c）＞f（x-c），故此函數(shù)f（x）
具有性質(zhì)P．
③∵f（x）=x³-x，∴f′（x）=3x²-1，當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，f′（x）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）
是遞減函數(shù)．
即在（-

3

3

，

3

3

）內(nèi)遞減，要想滿足f（x+c）＞f（x-c），只須c＞

3

3

 就可以了，如c=1就滿足了．
所以，滿足f（x+c）＞f（x-c）．
故答案為 ①③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義，命題真假的判斷，函數(shù)的周期性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．