Question

袋子A和B中分別裝有若干個(gè)質(zhì)地均勻，大小相同的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)球，得到紅球的概率是

1

3

，從B中摸出一個(gè)球，得到紅球的概率為p．
（Ⅰ）若A，B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1：3，將A，B中的球混裝在一起后，從中摸出一個(gè)球，得到紅球的概率是

3

4

，求p的值；
（Ⅱ）從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，若累計(jì)三次摸到紅球即停止，最多摸球5次，5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由題意設(shè)A中有x個(gè)球，B中有y個(gè)球，由于A，B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1：3，且從A中摸出一個(gè)球，得到紅球的概率是

1

3

，從B中摸出一個(gè)球，得到紅球的概率為p，利用條件得方程解之得；
（II）由于從A從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，若累計(jì)三次摸到紅球即停止，最多摸球5次，5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ中摸到一個(gè)紅球的概率為

1

3

，所以可以得知：ξ的取值為0，1，2，利用二項(xiàng)分布及期望定義即可求得．

解答：解：（1）解設(shè)A中有x個(gè)球，B中有y個(gè)球，由題意知

x 3 +py

x+y

=

3

4

且

x

y

=

1

3

解得：p=

8

9

（2）由題意知從A中摸到一個(gè)紅球的概率為

1

3

，ξ的取值為0，1，2p(ξ=0)=

C

0 5

(

1

3

)0(

2

3

)5=

32

243

，3p(ξ=1)=

C

1 5

(

1

3

)1(

2

3

)4=

80

243

p(ξ=2)=

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3=

80

243

p(ξ=3)=(

1

3

)3+

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

)1

1

3

+

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2

1

3

=

51

243

ξ	0	1	2	3
P	32 243	80 243	80 243	51 243

Eξ=1×

80

243

+2×

80

243

+3×(

9

243

+

18

243

+

24

243

)=

131

81

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的理解與計(jì)算能力，還考查了方程的思想，二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量的定義及分布列，還考查了期望的定義．