Question

對于橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，c=

a2-b2

)，定義e=

c

a

為橢圓的離心率，橢圓離心率的取值范圍是e∈（0，1），離心率越大橢圓越“扁”，離心率越小則橢圓越“圓”．若兩橢圓的離心率相等，我們稱兩橢圓相似．已知橢圓

x2

4

+

y2

m

=1與橢圓

x2

m

+

y2

9

=1相似，則m的值為

6

．

Answer 1

分析：由題意可得，m＞0且m≠4，m≠9，由已知兩橢圓相似可得離心率相等，e=

c

a

，故需要考慮橢圓的長半軸a與短半軸b，從而對m分類討論①m＜4②4＜m＜9，③m＞9分別進行求解．

解答：解：由題意可得，m＞0且m≠4，m≠9
若①m＜4，則有題意可得，

4-m

2

=

9-m

3

，此時m不存在
②4＜m＜9，則可得

m-4

m

=

9-m

3

，解可得m=6
③m＞9，則可得

m-4

3

=

m-9

m

，此時m不存在
故答案為：6

點評：本題主要考查了以新定義：橢圓的相似為載體，主要是通過分類討論m與4及9的大小，確定橢圓的長半軸及短半軸，及橢圓離心率的求解，體現了分類討論思想的應用．