Question

【題目】已知定義域為的函數（，）

（1）設，求的單調區間；

（2）設為導數，

（i）證明：當，時，；

（ii）設關于的方程的根為，求證：

Answer 1

【答案】（1）當為奇數時的增區間為，減區間為；當為偶數時的增區間為及，減區間為。

（2）（i）證明見解析，（ii）證明見解析。

【解析】

（1）對，求導可得，分當為大于1的奇數，和為偶數時兩種情況討論可得的單調區間；

（2）（i）設，，求導得，根據研究即可得到所證結論；

（ii），原方程化為解得，因為，所以；作差得，，由（i）知，可得，所以，即可得證.

（1），

當，時

即

（a）當為大于1的奇數時，是偶數，，，

當時，，當時

故的增區間為，減區間為

當為偶數時，是奇數，由于，所以

當或時，，當時

故的增區間為及，減區間為

綜上，當為奇數時的增區間為，減區間為，

當為偶數時的增區間為及，減區間為，

（2）（i）證明：設，，則，

因為，，故在是增函數，

從而，由于，

所以，

所以在是增函數，，即

（ii），原方程化為

解得，因為，所以；

作差得，，

由（i）知，當，時，，

令，，故有，所以，，

綜上，