Question

設S₁=1²，S₂=1²+2²+1²，S₃=1²+2²+3²+2²+1²，…，S_n=1²+2²+…+n²+…+2²+1²，…，某學生猜測S_n=n（an²+b），老師：回答正確，則a+b=

 

．

Answer 1

分析：根據已知中S₁=1²，S₂=1²+2²+1²，S₃=1²+2²+3²+2²+1²，…，我們歸納分析后，即可得到一個關于S_n的表達式，進而確定出a，b的值后，即可得到答案．

解答：解：∵S₁=1²=1×（

2

3

×1²+

1

3

），
S₂=1²+2²+1²=2×（

2

3

×2²+

1

3

），
S₃=1²+2²+3²+2²+1²=3×（

2

3

×3²+

1

3

），
…，
由此我們可以推斷
S_n=1²+2²+…+n²+…+2²+1²=n×（

2

3

×n²+

1

3

），
故a=

2

3

，b=

1

3

，
∴a+b=1
故答案為：1

點評：本題考查的知識點是歸綱推理，其中根據已知中S₁=1²，S₂=1²+2²+1²，S₃=1²+2²+3²+2²+1²，…及某學生猜測S_n=n（an²+b），老師回答正確，而將問題轉化為一個方程問題是解答的關鍵．