Question

如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,點E是棱BC的中點,點F是棱CD上的動點.

(1)試確定點F的位置,使得D₁E⊥平面AB₁F;

(2)當D₁E⊥平面AB₁F時,求二面角C₁EFA的大小(結果用反三角函數值表示).

Answer 1

剖析:(1)先假設D₁E⊥面AB₁F,再用三垂線定理驗證D₁E⊥AF,即可得出結論.

     (2)由三垂線定理作出二面角,再由解直角三角形知識求出角.

     (3)本題也可用空間向量知識求解.

解法一:(1)如圖,連結A₁B,則A₁B是D₁E在面ABB₁A₁內的射影.

  因為AB₁⊥A₁B,所以D₁E⊥AB₁.

    于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF.

    連結DE,則DE是D₁E在底面ABCD內的射影.

    因為D₁E⊥AFDE⊥AF,又因為ABCD是正方形,E是BC的中點,

    所以當且僅當F是CD的中點時,DE⊥AF,

    即當點F是CD的中點時,D₁E⊥平面AB₁F.

    (2)當D₁E⊥平面AB₁F時,由(1)知點F是CD的中點,

    又已知點E是BC的中點,連結EF,則EF∥BD.

    連結AC,設AC與EF交于點H,則CH⊥EF.

    連結C₁H,則CH是C₁H在底面ABCD內的射影.

    所以C₁H⊥EF,即∠C₁HC是二面角C₁EFC的平面角.

    在Rt△C₁CH中,因為C₁C=1,CH=AC=,所以tan∠C₁HC===2.

    所以∠C₁HC=arctan2,從而∠AHC₁=π-arctan2.

    故二面角C₁EFA的大小為π-arctan2.

解法二:以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.

    (1)設DF=x,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),B₁(1,0,1),D₁(0,1,1),E(1, ,0),F(x,1,0).

    所以=(1,-,-1), =(1,0,1), =(x,1,0).

    所以·=1-1=0,即D₁E⊥AB₁.

    于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF·=0x-=0,即x=.

    故當點F是CD的中點時,D₁E⊥平面AB₁F.

    (2)當D₁E⊥平面AB₁F時,F是CD的中點.又E是BC的中點,連結EF,則EF∥BD.

    連結AC,設AC與EF交于點H,則AH⊥EF.連結C₁H,則CH是C₁H在底面ABCD內的射影.

    所以C₁H⊥EF,即∠AHC₁是二面角C₁-EF-A的平面角.

    因為C₁(1,1,1)、H(,,0),

所以=(,,1), =(-,-,0).

所以cos∠AHC₁===-,

    即∠AHC₁=arccos(-)=π-arccos.

    故二面角C₁EFA的大小為π-arccos.

講評:本題通過一典型圖形正方體,考查了線面關系和線線關系(垂直、平行),又考查了正方體的一些性質,同時考查了學生的空間想象能力、邏輯推理能力及運算能力.