Question

利用數學歸納法證明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

＞

13

14

時，由k遞推到k+1時，左邊應添加的因式為（　　）

• A．

  1

  2(k+1)

• B．

  1

  2k+1

  +

  1

  2(k+1)

• C．

  1

  2k+1

  -

  1

  2(k+1)

• D．

  1

  2k+1

Answer 1

分析：只須求出當n=k時，左邊的代數式，當n=k+1時，左邊的代數式，相減可得結果．

解答：解：當n=k時，左邊的代數式為

1

k+1

+

1

k+2

+… +

1

k+k

，
 當n=k+1時，左邊的代數式為 

1

k+2

+

1

k+3

+… +

1

k+k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

，
故用n=k+1時左邊的代數式減去n=k時左邊的代數式的結果為：

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

=

1

2k+1

-

1

2(k+1)

，
故選：C．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．