Question

已知函數f（x）=2x³-

1

2

x²+m（m為常數）的圖象上A點處的切線與直線x+y+3=0垂直，則點A的橫坐標為（　　）

• A、

  1

  2

• B、-

  1

  3

• C、

  1

  2

  或-

  1

  3

• D、1或

  1

  6

Answer 1

分析：先根據切線與已知直線垂直，求出該切線的斜率為1，再利用導數的幾何意義解方程f′（x）=0，求解出x的值，即為所求的點A的橫坐標．

解答：解：設點A（x₀，y₀）
∵直線x+y+3=0斜率是-1，并且切線與直線x+y+3=0垂直
∴函數f（x）過點A處的切線的斜率是1．
根據導數的幾何意義得知，f′（x₀）=6x₀²-x₀=1，
解方程，得x₀=

1

2

或x₀=-

1

3

故選C．

點評：本題是考查兩個常見考點：①互相垂直的兩個直線的斜率之積為-1；②切線的斜率等于導數在切點處的函數值．該題將兩個知識點完美結合，屬于中檔題．