Question

【題目】如圖所示，直角梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，或.

【解析】

（1）證明：四邊形為矩形，，

又平面平面，平面平面，

平面.

取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，

如圖，則，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，

設平面的法向量，，，

，，，，2，，

由，取，得，0，，

又，2，，，，

又平面，平面；

（2），0，，，0，，，2，，，，，，0，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

設二面角的平面角為，

則，

二面角的正弦值.

（3）假設在線段上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，

設，，，，則，，，，，

解得，，，，，，

平面的法向量，，，，，，

直線與平面所成角的正弦值為，

，

解得或，

，或.