Question

若對任意的x∈D，均有f₁(x)≤f(x)≤f₂(x)成立，則稱函數f(x)為函數f₁(x)到函數f₂(x)在區間D上的“折中函數”．已知函數f(x)＝(k－1)x－1，g(x)＝0，h(x)＝(x＋1)ln x，且f(x)是g(x)到h(x)在區間[1,2e]上的“折中函數”，則實數k的取值范圍為________．

Answer 1

{2}

法一：依題意可知當x∈[1,2e]時，恒有0≤(k－1)x－1≤(x＋1)ln x成立．
當x∈[1,2e]時，由(k－1)x－1≥0恒成立，可知k≥1＋恒成立，又x∈[1,2e]時， _max＝2，此時x＝1，從而k≥2.
當x∈[1,2e]時，由(k－1)x－1≤(x＋1)ln x恒成立，可知k≤＋1恒成立，記
m(x)＝＝ln x＋，
其中x∈[1,2e]．從而m′(x)＝ln x＋－＝，易知當x∈[1,2e]時，x＞ln x(可以建立函數再次利用導數證明，)所以當x∈[1,2e]時，m′(x)＞0，所以m(x)在x∈[1,2e]上是單調遞增函數，所以k≤m(x)_min＋1＝m(1)＋1＝2.
綜上所述可知k＝2，所以實數k的取值范圍為{2}．
法2：由于本題的特殊性，可看出g(1)＝0，h(1)＝0，由題知g(1)≤f(1)≤h(1)，顯然f(1)＝0，即k＝2.h′(x)＝1＋＋ln x．在[1,2e]上，h′(x)＞1＝f′(x)，故k＝2.