Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）不需證明，直接寫出的奇偶性：

（Ⅱ）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個零點：

（Ⅲ）設(shè)是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）奇函數(shù)；（Ⅱ）在和上單調(diào)遞增；證明見解析；（Ⅲ）證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）先計算出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)簡單函數(shù)的奇偶性，簡單判斷可得結(jié)果.

（Ⅱ）計算函數(shù)，可得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，然后利用零點存在性定理以及函數(shù)的奇偶性，可得結(jié)果.

（Ⅲ）簡單判斷可知點在曲線上，計算直線的斜率以及曲線在點處切線的斜率和曲線在點處切線的斜率即可.

（Ⅰ）定義域為，函數(shù)為奇函數(shù)．

（Ⅱ）因為，

由（Ⅰ）知，為奇函數(shù)，且

所以，在和上單調(diào)遞增．

在上，，

所以在上有唯一零點，即．

又為奇函數(shù)，．

故在上有唯一零點．

綜上，有且僅有兩個零點．

（Ⅲ）因為，故點在曲線上．

由題設(shè)知即，連接，

則直線的斜率

曲線在點處切線的斜率是；

曲線在點處切線的斜率也是．

所以曲線在點處的切線也是曲線的切線．