Question

中心在原點，焦點在x軸上的一個橢圓與一個雙曲線有共同的焦點F₁，F₂，|F1F2|=2

13

，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3：7，
（1）求這兩曲線方程；
（2）若P為兩曲線的交點（P在第一象限），求

PF1

•

PF2

的值．

Answer 1

分析：（1）根據半焦距c=

13

，設橢圓長半軸為a，由離心率之比求出a，進而求出橢圓短半軸的長及雙曲線的虛半軸的長，寫出橢圓和雙曲線的標準方程．
（2）由橢圓、雙曲線的定義求出PF₁與PF₂的長，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出 cos∠F₁PF₂ 的值，最后利用向量的數量積公式求解即可．

解答：解：（1）由題意知，半焦距c=

13

，設橢圓長半軸為a，則雙曲線實半軸 a-4，
離心率之比為

3

7

=

13 a

13 a-4

，
∴a=7，
∴橢圓的短半軸等于

49-13

=6，雙曲線虛半軸的長為

13-9

=2，
∴橢圓和雙曲線的方程分別為：

x2

49

+

y2

36

=1和

x2

9

-

y2

4

=1．
（2）由橢圓的定義得：PF₁ +PF₂=2a=14，
由雙曲線的定義得：PF₁-PF₂=6，
∴PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=2

13

，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：(2

13

)2=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=

4

5

．
則

PF1

•

PF2

=|

PF1

|•|

PF2

|cos∠F₁PF₂=10×4×

4

5

=32．

點評：本題主要考查橢圓、雙曲線的標準方程和幾何性質、平面向量數量積的運算，考查計算能力．屬于基礎題．