Question

在棱長為

2

的正四面體的外接球中，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的圓心距為

2

2

，則兩圓的公共弦長是（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  4

• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：正四面體擴展為正方體，它們的外接球是同一個球，正方體的對角線長就是球的直徑，求出半徑，再從三個圓心上找關系，構建矩形利用對角線相等即可求解出答案．

解答：解：正四面體擴展為正方體，它們的外接球是同一個球，
正方體的對角線長就是球的直徑，正方體的棱長為：1；對角線長為：

3

，
所以球的半徑為：R=

3

2

，
設相互垂直兩圓的圓心分別為O₁、O₂，球心為O，公共弦為AB，其中點為E，
則OO₁EO₂為矩形，于是對角線O₁O₂=OE，
而 OE=

OA2-AE2

=

( 3 2 )2-AE2

=

2

2

，
∴AE=

1

2

，則AB=1；
故選C．

點評：考查兩平面垂直的性質，正四面體的外接球，球的體積的求法，本題的突破口在正四面體轉化為正方體，外接球是同一個球，考查計算能力，空間想象能力．