Question

【題目】設a為實數，函數f（x）=+a+a．

（1）設t=，求t的取值范圖；

（2）把f（x）表示為t的函數h（t）；

（3）設f （x）的最大值為M（a），最小值為m（a），記g（a）=M（a）-m（a）求g（a）的表達式．

Answer 1

【答案】（1）[，2]； （2）h（t）=at+，≤t≤2； （3）g（a）=．.

【解析】

（1）將t=兩邊平方，結合二次函數的性質可得t的范圍；（2）由（1）可得=，可得h（t）的解析式；（3）求得h（t）=（t+a）2-1-a2，對稱軸為t=-a，討論對稱軸與區間[，2]的關系，結合單調性可得h（t）的最值，即可得到所求g（a）的解析式．

（1）t=，可得t2=2+2，

由0≤1-x2≤1，可得2≤t2≤4，

又t≥0可得≤t≤2，

即t的取值范圍是[，2]；

（2）由（1）可得=，

即有h（t）=at+，≤t≤2；

（3）由h（t）=（t+a）2-1-a2，

對稱軸為t=-a，

當-a≥2即a≤-2時，h（t）在[，2]遞減，

可得最大值M（a）=h（）=a；最小值m（a）=h（2）=1+2a，

則g（a）=（-2）a-1；

當-a≤即a≥-時，h（t）在[，2]遞增，

可得最大值M（a）=h（2）=1+2a；最小值m（a）=h（）=a，

則g（a）=（2-）a+1；

當＜-a＜2即-2＜a＜-時，h（t）的最小值為m（a）=h（-a）=-1-a2，

若-1-≤a＜-，則h（2）≥h（），可得h（t）的最大值為M（a）=h（2）=1+2a，

可得g（a）=2+2a+a2；

若-2＜a＜-1-，則h（2）＜h（），可得h（t）的最大值為M（a）=h（）=a，

可得g（a）=a+1+a2；

綜上可得g（a）=．