Question

過點P(2，1)作直線l分別交x軸、y軸正半軸于A、B兩點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程.

Answer 1

解:設直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0).

∵P(2，1)在直線l上，∴＋＝1.

于是·≤()²＝，

當且僅當＝＝時上式等號成立，

即a=4，b=2時，·最大.

∴S_△AOB的最小值為ab＝4.

此時直線l的方程為＋＝1.

∴當△AOB的面積最小時，直線l的方程為＋＝1,?即x＋2y－4=0.

點評:(1)求直線l與坐標軸圍成的三角形的面積的問題時，常把直線l的方程設成截距式＋=1，這樣三角形的面積就是|ab|.此例中，根據兩正數、的和是常數的特點，利用基本不等式，求得了積的最大值，也就是面積的最小值，再由取得最值的條件得出a、b的值，進而求得l的方程.

(2)本題還可設l的方程為y－1=k(x－2)(k＜0).