Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在直線，使得對(duì)任意的，，對(duì)任意的，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分，兩種情況討論即可；

(2)先由可轉(zhuǎn)化為二次不等式的恒成立問(wèn)題，然后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，恒成立問(wèn)題，即可求解.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

（i）若，則；

（ii）若，則由得，由得；

綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）設(shè)存在直線滿足題意.

（i）由，即對(duì)任意的都成立，得，所以，

（ii）令，

，

①若，則，單調(diào)遞增，，不合題意；

②若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

所以，即，

由（i）得，

即，

令，，

，所以單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，所以在是單調(diào)遞減，是單調(diào)遞減，所以，所以.