Question

【題目】已知橢圓過點，焦距長，過點的直線交橢圓于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）在軸上是否存在一點，使得為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點符合題意

【解析】

(1)首先可通過焦距為計算出的值，再將點代入橢圓方程中即可計算出的值，最后得出橢圓的方程；

(2)首先可設點存在，然后設出直線的方程以及、兩點坐標，然后聯立直線方程與橢圓方程得出的值，然后對進行化簡，最后即可求出點的坐標以及定值。

(1)由焦距為可以得出，

然后將代入方程可得，，

故橢圓方程為；

(2)假設存在點，使為定值，

若直線的斜率不為0時，設直線：交橢圓于，，

由可得：，，，

，，

，

要使上式為定值，則，即，此時

而當點為，且直線的斜率為0時，，，

，

故在軸上存在點，使得為定值，且等于。