Question

21. 已知定義在R上的函數f（x）和數列{a_n}滿足下列條件：

a₁=a,　a_n=f（a_n－1）（n=2,3,4,…）,　a₂≠a₁,

f（a_n）－f（a_n－1）=k（a_n－a_n－1）（n=2,3,4,…）.

其中a為常數，k為非零常數.

（Ⅰ）令b_n=a_n+1－a_n（n∈N*），證明數列{b_n}是等比數列；

（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；

（Ⅲ）當|k|＜1時，求a_n.

Answer 1

21.本小題主要考查函數、數列、等比數列和極限等概念.考查靈活應用數學知識分析問題和解決問題的能力.

（Ⅰ）證明：由b₁=a₂－a₁≠0,可得

b₂=a₃－a₂=f（a₂）－f（a₁）=k（a₂－a₁）≠0.

由數學歸納法可證b_n=a_n+1－a_n≠0（n∈N*）.

由題設條件，當n≥2時,

=

=

=

=k.

因此，數列{b_n}是一個公比為k的等比數列.

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）知，b_n=k^n－1b₁=k^n－1（a₂－a₁）�。�n∈N*）.

當k≠1時

b₁+b₂+…+b_n－1=（a₂－a₁）           （n≥2）;

當k=1時

b₁+b₂+…+b_n－1=（n－1）（a₂－a₁）　              （n≥2）.

而           b₁+b₂+…+b_n－1=（a₂－a₁）+（a₃－a₂）+…+（a_n－a_n－1）

=a_n－a₁ （n≥2）.

所以，當k≠1時

a_n－a₁=（a₂－a₁）　      （n≥2）.

上式對n=1也成立.所以，數列{a_n}的通項公式為

a_n=a+（f（a）－a）      （n∈N*）.

當k=1時

a_n－a₁=（n－1）（a₂－a₁）　     （n≥2）.

上式對n=1也成立.所以，數列{a_n}的通項公式為

a_n=a+（n－1）（f（a）－a）      （n∈N*）.

（Ⅲ）解：當|k|＜1時，

a_n=［a+（f（a）－a）］

=a+.