Question

（本小題滿分13分）

如圖，圓柱OO₁內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑。
（Ⅰ）證明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）設(shè)AB=AA₁。在圓柱OO₁內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于
三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)的概率為P。
（i）                            當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求P的最大值；
記平面A₁ACC₁與平面B₁OC所成的角為（0°<  90°）。當(dāng)P取最大值時(shí)，求cos的值。

Answer 1

本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。滿分13分。


解法一 ：
（I）平面，平面，   
是圓O的直徑，
又， 平面
而平面，
所以平面平面。
（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為r，則
故三棱柱的體積

又

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
從而，
而圓柱的體積，
故，當(dāng)且僅當(dāng)
，即時(shí)等號(hào)成立。
所以，的最大值等于
（ii）由（i）可知，取最大值時(shí)，
于是，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
則，，
平面，是平面的一個(gè)法向量
設(shè)平面的法向量，
 
取，得平面的一個(gè)法向量為
，

解法二：
（I）同解法一
（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為r，則，
故三棱柱的體積
設(shè)，
則，，
由于，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故
而圓柱的體積，
故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。
所以，的最大值等于
（ii）同解法一
解法三：
（I）同解法一
（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑，則，故圓柱的體積
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823143311373423.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值。
又因?yàn)辄c(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大。進(jìn)而，三棱柱的體積最大，且其最大值為
故的最大值等于
（ii）同解法一

略