Question

若函數f（x）滿足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數f（x）是等比源函數．
（Ⅰ）判斷下列函數：①y=x²；②y=

1

x

；③y=log₂x中，哪些是等比源函數？（不需證明）
（Ⅱ）判斷函數f（x）=2^x+1是否為等比源函數，并證明你的結論；
（Ⅲ）證明：?d，b∈N^*，函數g（x）=dx+b都是等比源函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接舉例說明題目給出的三個函數都是“等比源函數”；
（Ⅱ）利用反證法思想證明函數f（x）=2^x+1不是等比源函數；
（Ⅲ）首先證明數列{g（n）}為等差數列，然后驗證g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]構成等比數列，從而說明結論的正確性．

解答：（Ⅰ）解：對于函數y=x²，分別取x=1，2，4，對應的函數值為1，4，16，構成等比數列，符合等比源函數定義，∴函數y=x²是等比源函數；
對于函數y=

1

x

，分別取x=1，2，4，對應的函數值為1，

1

2

，

1

4

，構成等比數列，符合等比源函數定義，∴函數y=

1

x

是等比源函數；
對于函數y=log₂x，分別取x=2，4，16，對應的函數值為1，2，4，構成等比數列，符合等比源函數定義，∴函數y=log₂x是等比源函數．
∴①②③都是等比源函數；
（Ⅱ）解：函數f（x）=2^x+1不是等比源函數．
證明如下：
假設存在正整數m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比數列，則
（2ⁿ+1）²=（2^m+1）（2^k+1），整理得2²ⁿ+2ⁿ⁺¹=2^m+k+2^m+2^k，
等式兩邊同除以2^m，得2^2n-m+2^n-m+1=2^k+2^k-m+1．
∵n-m≥1，k-m≥2，∴等式左邊為偶數，等式右邊為奇數，
∴等式2^2n-m+2^n-m+1=2^k+2^k-m+1不可能成立，
∴假設不成立，說明函數f（x）=2^x+1不是等比源函數；
（Ⅲ）證明：∵?b，n∈N^*，都有g（n+1）-g（n）=d，
∴?d，b∈N^*，數列{g（n）}都是以g（1）為首項，公差為d的等差數列．
?d，b∈N^*，g（1），g（1）（1+d），g（1）（1+d）²成等比數列，
∵g（1）（1+d）=g（1）+（g（1）+1-1）d=g[g（1）+1]，
g（1）（1+d）²=g（1）+（2g（1）+g（1）d+1-1）d=g[2g（1）+g（1）d+1]，
∴g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]∈{g（n）|n∈N^*}，
∴?d，b∈N^*，函數g（x）=dx+b都是等比源函數．

點評：本題考查了等比數列的性質，是新定義題，解答的關鍵是通過舉例驗證證明，是中檔題．