Question

求函數y=

x2-x+2

x+1

（x≠-1）的值域．

Answer 1

分析：注意到自變量x≠-1，所以將分式整理，得到y=(x+1)+

4

x+1

-3，接下來分x+1＞0與x+1＜0兩種情況，最后用基本不等式，可以求得原函數的值域．

解答：解：由已知：y=

x2-x+2

x+1

=

(x+1)2-3(x+1)+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

-3，
（i）當x+1＞0即x＞-1時，y=(x+1)+

4

x+1

-3≥2

(x+1)• 4 x+1

-3=1，
當且僅當x+1=

4

x+1

即x=1y≥1
時，y_min=1，此時；
（ii）當x+1＜0即x＜-1時，y=-[-(x+1)+

4

-(x+1)

]-3≤-2

-(x+1)• 4 -(x+1)

-3=-7，
當且僅當-(x+1)=

4

-(x+1)

即x=-3時，y_min=1，此時y≤-7；
綜上所述，所求函數的值域為y∈（-∞，-7]∪[1，+∞）

點評：本題考查了分式函數的值域、基本不等式等知識點，屬于中檔題．采用倒數的方法解題是解決本題的關鍵，解題的同時還要注意函數定義域問題．