Question

給出定義在(0，＋∞)上的三個函數：，，，已知在x＝1處取極值.
（Ⅰ）確定函數h(x)的單調性；
（Ⅱ）求證：當時，恒有成立；
（Ⅲ）把函數h(x)的圖象向上平移6個單位得到函數h₁(x)的圖象，試確定函數y＝g(x)－h₁(x)的零點個數，并說明理由.

Answer 1

（1）h(x)在(1，+∞)上是增函數，在(0，1)上是減函數.（2）見解析 （3）2

（Ⅰ）由題設，，則.                     
由已知，，即.                                      
于是，則.                                        
由，所以h(x)在(1，+∞)上是增函數，在(0，1)上是減函數.
（Ⅱ）當時，，即.                           
欲證，只需證，即證.          
設，則.
當時，，所以在區間(1，e²)上為增函數.                 
從而當時，，即，故.        
（Ⅲ）由題設，.令，則
，即.                   
設，，則
，由，得x＞4.
所以在(4，＋∞)上是增函數，在(0，4)上是減函數.                        
又在(0，)上是增函數，在(，＋∞)上是減函數.
因為當x→0時，，.
又，，，
，則函數與的大致圖象如下：                           
由圖可知，當x＞0時，兩個函數圖象有2個交點，故函數y＝g(x)－h₁(x)有2個零點.