Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）當時，若方程有兩個不等實數根，，求實數的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）求出，即在恒成立，即對恒成立；

（2）當時，方程，令，則有；不妨設，則，，，.

解：（1），

∵函數在上單調遞增，

∴在恒成立，即對恒成立，

∴對恒成立，即，，

令，則，

∴在上單調遞減，

∴在上的最大值為.

∴的取值范圍是.

（2）∵當時，方程，

令，則，

當時，，故單調遞減，

當時，，故單調遞增，

∴.

若方程有兩個不等實根，則有，即，

當時，，

，

，令，

則，單調遞增，，

∴，∴原方程有兩個不等實根，

∴實數的取值范圍是.

不妨設，則，，

∴，

∵，

∴

,

.

令，則，

∴在上單調遞增，

∴當時，，即，

∴，∴.