Question

已知函數（a，b∈R），其圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y﹣3=0．

（1）求a，b的值；

（2）求函數f（x）的單調區間和極值；

（3）求函數f（x）在區間[﹣2，5]上的最大值．

Answer 1

考點：

利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．

專題：

導數的綜合應用．

分析：

（1）求導函數，利用導數的幾何意義，結合函數解析式，即可求a，b的值；

（2）求導數，利用導數的正負，即可求函數f（x）的單調區間和極值；

（3）將函數的極大值與端點函數值，比較，即可求函數f（x）在區間[﹣2，5]上的最大值．

解答：

解：（1）由題意，f′（x）=x²﹣2ax+a²﹣1．                                     …（1分）

又∵函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y﹣3=0，

所以切線的斜率為﹣1，即 f′（1）=﹣1，∴a²﹣2a+1=0，解得a=1．                       …（2分）

又∵點（1，f（1））在直線x+y﹣3=0上，∴f（1）=2，…（3分）

同時點（1，f（1））即點（1，2）在y=f（x）上，∴，…（4分）

即，解得．                                 …（5分）

（2）由（1）有，∴f′（x）=x²﹣2x，…（6分）

由f′（x）=0可知x=0，或x=2，

所以有x、f′（x）、f（x）的變化情況表如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）		極大值		極小值	

…（8分）

由上表可知，f（x）的單調遞增區間是（﹣∞，0）和（2，+∞），單調遞減區間是（0，2）； …（10分）

∴函數f（x）的極大值是，極小值是．                  …（11分）

（3）由（2），函數f（x）在區間[﹣2，5]上的極大值是．            …（12分）

又，…（13分）

∴函數f（x）在區間[﹣2，5]上的最大值為．…（14分）

點評：

本題考查導數知識的應用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．