Question

某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示．
（I）估計(jì)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；
（II）假設(shè)在[90，100]段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都不相同，且都超過(guò)94分．若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個(gè)數(shù)中任意抽取2個(gè)數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）利用分組兩端的數(shù)據(jù)中值估算抽樣學(xué)生的平均分，類似于加權(quán)平均數(shù)的算法，讓每一段的中值乘以這一段對(duì)應(yīng)的頻率，得到平均數(shù)，利用樣本的平均數(shù)來(lái)估計(jì)總體的平均數(shù)．
（II）根據(jù)等可能事件的概率公式得到兩個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的概率，隨機(jī)變量ξ的可能取值為0、1、2、3，且變量符合二項(xiàng)分布，根據(jù)符合二項(xiàng)分布寫出分布列和期望，也可以用一般求期望的方法來(lái)解．

解答：解：（I）利用中值估算抽樣學(xué)生的平均分：
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．
∴估計(jì)這次考試的平均分是72分．
（II）從95，96，97，98，99，100中抽2個(gè)數(shù)的全部可能的基本結(jié)果數(shù)是C₆²=15，
有15種結(jié)果，學(xué)生的成績(jī)?cè)赱90，100]段的人數(shù)是0.005×10×80=4（人），
這兩個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的基本結(jié)果數(shù)是C₄²=6，
兩個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的概率P=

6

15

=

2

5

.
隨機(jī)變量ξ的可能取值為0、1、2、3，且變量符合二項(xiàng)分布，
∴P(ξ=k)=

C

k 3

(

2

5

)k(

3

5

)3-k，k=0，1，2，3
∴變量ξ的分布列為：

∴Eξ=np=3×

2

5

=

6

5

（或Eξ=0×

8

125

+1×

36

125

+2×

54

125

+3×

54

125

=

6

5

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查讀頻率分步直方圖，考查用樣本估計(jì)總體，考查等可能事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查二項(xiàng)分布，是一個(gè)綜合題．