Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1交于A、B兩點

(1)若以AB為直徑的圓過坐標原點，求實數a的值；

(2)是否存在這樣的實數a，使A、B兩點關于直線y=x對稱？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：(1)由消去y，得

(3-a²)x²-2ax-2=0.                               ①

依題意

即-＜a＜且a≠±3.                 ②

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則

∵以AB為直徑的圓過原點，∴OA⊥OB.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

但y₁y₂=a²x₁x₂+a(x₁+x₂)+1,

由③④，x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴(a²+1)·+a·+1=0.

解得a=±1且滿足②.

(2)假設存在實數a，使A、B關于y=x對稱，則直線y=ax+1與y=x垂直，

∴a·=-1，即a=-2.

直線l的方程為y=-2x+1.

將a=-2代入③得x₁+x₂=4.

∴AB中點橫坐標為2，

縱坐標為y=-2×2+1=-3.

但AB中點(2，-3)不在直線y=x上,

即不存在實數a，使A、B關于直線y=x對稱.