Question

如圖（1）在等腰△ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC邊的中點，現將△ACD沿CD翻折，使得平面ACD⊥平面BCD．（如圖（2））
（1）求證：AB∥平面DEF；
（2）求證：BD⊥AC；
（3）設三棱錐A-BCD的體積為V₁、多面體ABFED的體積為V₂，求V₁：V₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用三角形中位線定理證明EF∥AB，再利用線面平行的判定定理證明AB∥平面DEF即可；
（2）先利用面面垂直的性質定理證明BD⊥平面ACD，再利用線面垂直的定義證明BD⊥AC即可；
（3）先利用面面垂直的性質定理證明AD⊥平面BCD，從而得三棱錐A-BCD的體積為V₁、再利用線面垂直的性質求三棱錐E-CDF的體積為，從而得多面體的體積為，從而確定所求體積之比
解答：解：（1）證明：如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（2）∵平面ACD⊥平面BCD于CD
BD⊥CD，且BD?平面BCD
∴BD⊥平面ACD，又AC?平面ACD
∴BD⊥AC．
（3））∵平面ACD⊥平面BCD于CD
AD⊥CD，且AD?平面ACD
∴AD⊥平面BCD
∴AD是三棱錐A-BCD的高
∴
又∵E、F分別是AC、BC邊的中點，
∴三棱錐E-CDF的高是三棱錐A-BCD高的一半，即
三棱錐E-CDF的底面積是三棱錐A-BCD底面積的一半，即S_△BCD
∴三棱錐E-CDF的體積
∴
∴V₁：V₂=4：3．
點評：本題主要考查了線面平行的判定定理，面面垂直的性質定理，線面垂直的定義和性質，三棱錐體積的計算公式，辨清幾何體中的垂直關系是解決本題的關鍵