Question

設函數f(x)的定義域關于原點對稱且滿足:
(i)f(x₁－x₂)=；
(ii)存在正常數a使f(a)=1 求證:
(1)f(x)是奇函數.
(2)f(x)是周期函數，且有一個周期是4.

Answer 1

證明略

(1）不妨令x=x₁－x₂,
則f(－x)=f(x₂－x₁)= 
=－f(x₁－x₂)=－f(x)                
∴f(x)是奇函數.
(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).
∵f(x+a)=f［x-(-a)］= 

∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),
故f(x)是以4a為周期的周期函數.