Question

設函數f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N₊）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）設函數g(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函數，且對于（0，1]內的任意實數x₁，x₂當k為偶數時，恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）當k是偶數時，函數h(x)=f′(x)-x+

3

x

，求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N₊）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數的定義域，討論k是奇數還是偶數，然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0，即可求出函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）欲使函數g(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函數，只需g′(x)=2b+

2

x3

≥0在（0，1]上恒成立，然后利用參數分離法將b分離，求出不等式另一側的最大值，欲使當k為偶數時，恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，只需f（x₁）_min≥g（x₂）_max即可求出b的范圍；
（Ⅲ）先求出函數h（x） 的解析式，要證[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ，即證(x+

1

x

)n+2≥xn+

1

xn

+2n，然后利用二項式定理進行展開，即證C_n¹x^n-2+C_n²x^n-4++C_n^n-1x^2-n≥2ⁿ-2，設S_n=C_n¹x^n-2+C_n²x^n-4++C_n^n-1x^2-n，利用倒序相加法即可證得Sn≥2ⁿ-2，所以原不等式得證．

解答：解：由已知，得函數f（x）的定義域為（0，+∞）．（1分）
（Ⅰ）當k為偶數時，f（x）=x²-2lnx，則f′(x)=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，
又x＞0，f'（x）≥0，即x²-1≥0，得x≥1，
所以此時函數f（x）的單調遞增區間為[1，+∞）．
當k為奇數時，f（x）=x²+2lnx，
則f′(x)=2x+

2

x

=

2(x2+1)

x

≥0在定義域內恒成立，
所以此時函數f（x）的單調增區間為（0，+∞）．（4分）

（Ⅱ）∵函數g(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函數
∴g′(x)=2b+

2

x3

≥0在（0，1]上恒成立，
即b≥-

1

x3

在（0，1]上恒成立，
即b≥(-

1

x3

)max=-1，
∴b≥-1．①（6分）
由（Ⅰ）可知當k為偶數時，f'（x）≤0得0＜x≤1，即f（x）在（0，1]為減函數，
∴f（x）_min=f（1）=1．
又∵對于（0，1]內的任意實數x₁，x₂，
當k為偶數時，恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，
∴1≥g（x）_max=g（1），即1≥2b-1，所以b≤1，②
由①②得-1≤b≤1．（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，h(x)=x+

1

x

，即證(x+

1

x

)n+2≥xn+

1

xn

+2n，（9分）
由二項式定理(x+

1

x

)n=

C

0 n

xn+

C

1 n

xn-1

1

x

+

C

2 n

xn-2

1

x2

++

C

n-1 n

x

1

xn-1

+

C

n n

1

xn

=

C

0 n

xn+

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4++

C

n-1 n

x2-n+

C

n n

1

xn

．
即證C_n¹x^n-2+C_n²x^n-4++C_n^n-1x^2-n≥2ⁿ-2．（10分）
設S_n=C_n¹x^n-2+C_n²x^n-4++C_n^n-1x^2-n，
則S_n=C_n¹x^2-n+C_n²x^4-n++C_n^n-1x^n-2．
兩式相加得2S_n=

C

1 n

(xn-2+

1

xn-2

)+

C

2 n

(xn-4+

1

xn-4

)++

C

n-1 n

(x2-n+

1

x2-n

)≥2（C_n¹+C_n²++C_n^n-1）=2（2ⁿ-2），
即S_n≥2ⁿ-2，所以原不等式得證（12分）

點評：本題主要考查了二項式定理的應用，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查計算能力和分析問題的能力，轉化的數學思想，屬于中檔題．