Question

函數f（x）=2^x和g（x）=x³的部分圖象的示意圖如圖所示．設兩函數的圖象交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（Ⅰ）請指出示意圖中曲線C₁、C₂分別對應哪一個函數？
（Ⅱ）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并說明理由；
（Ⅲ）結合函數圖象示意圖，請把f（6），g（6），f（2011）、g（2011）四個數按從小到大的順序排列．

Answer 1

分析：（I）由冪函數和指數函數的增長的特點知，當自變量取值足夠大時，2^x遠大于 x³，故g（x）=x³，f（x）=2^x．
（II）由h（1）•h（2）＜0，得x₁∈[1，2]，由h（9）•h（10）＜0，可得x₂∈[9，10]，從而得出a，b的值．
（III）由兩個函數的圖象及兩個函數的增長速度的快慢可得，當自變量取值足夠大時，2^x遠大于 x³．

解答：解：（I）圖象C₁對應的函數：g（x）=x³； 圖象 C₂對應的函數：f（x）=2^x．
（II）記h（x）=f（x）-g（x），由h（1）=1，h（2）=-4，
由h（1）•h（2）＜0，
得x₁∈[1，2]，∴a=1．
同理：h（9）=-217，h（10）=24，h（9）•h（10）＜0，
可得x₂∈[9，10]，∴b=9．
（III）由兩個函數的圖象及兩個函數的增長速度的快慢可得，f（6）＜g（6）＜g（2011）＜f（2011）．

點評：本題考查指數函數和冪函數的增長差異，體現了數形結合的數學思想．