Question

（2012•洛陽模擬）隨著建設資源節約型、環境友好型社會的宣傳與實踐，低碳綠色的出行方式越來越受到追捧，全國各地興起了建設公共自行車租賃系統的熱潮，據不完全統計，已有北京、株洲、杭州、太原、蘇州、深圳等城市建設成公共自行車租賃系統，某市公共自行車實行60分鐘內免費租用，60分鐘以上至120分鐘（含），收取1元租車服務費，120分鐘以上至180分鐘（含），收取2元租車服務費，超過180分鐘以上的時間，按每小時3元計費（不足一小時的按一小時計），租車費用實行分段合計．現有甲，乙兩人相互獨立到租車點租車上班（各租一車一次），設甲，乙不超過1小時還車的概率分別為

1

2

，

1

4

，1小時以上且不超過2小時還車的概率分別為

1

4

，

1

3

，2小時以上且不超過3小時還車的概率分別為

1

8

，

1

3

，兩人租車時間均不會超過4小時．
（1）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率．
（2）設甲一周內有四天（每天租車一次）均租車上班，X表示一周內租車費用不超過2元的次數，求X的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（1）甲、乙兩人租車費用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分別求出相應的概率，最后求和可求出所求；
（2）X的取值可能為0，1，2，3，4，然后利用二項分布的概率公式分別求出相應的概率，列出分布列，最后利用數學期望公式解之即可．

解答：解：（1）甲、乙兩人租車費用相同包括0，1，3，6元
兩人都付0元的概率為P₁=

1

2

×

1

4

=

1

8

兩人都付1元的概率為P₂=

1

4

×

1

3

=

1

12

兩人都付3元的概率為P₃=

1

8

×

1

3

=

1

24

兩人都付6元的概率為P₄=（1-

1

2

-

1

4

-

1

8

）×（1-

1

4

-

1

3

-

1

3

）=

1

8

×

1

12

=

1

96

則甲，乙兩人所付租車費用相同的概率為P=P₁+P₂+P₃+P₄=

25

96

（2）依題意，甲某每天租車費用不超過2元的概率為P=

1

2

+

1

4

=

3

4

則P（X=0）=

C

0 4

×(

3

4

)0×(

1

4

)4=

1

256

，P（X=1）=

C

1 4

×(

3

4

)1×(

1

4

)3=

3

64

P（X=2）=

C

2 4

×(

3

4

)2×(

1

4

)2=

27

128

，P（X=3）=

C

3 4

×(

3

4

)3×(

1

4

)1=

27

64

P（X=4）=

C

4 4

×(

3

4

)4×(

1

4

)0=

81

256

∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	1 256	3 64	27 128	27 64	81 256

X的數學期望為E（X）=1×

3

64

+2×

27

128

+3×

27

64

+4×

81

256

=3

點評：本題主要考查了獨立事件、互斥事件的概率，以及離散型隨機變量的分布列和數學期望，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．