Question

已知函數，，其中為常數， ，函數的圖象與坐標軸交點處的切線為，函數的圖象與直線交點處的切線為，且。
（Ⅰ）若對任意的，不等式成立，求實數的取值范圍.
（Ⅱ）對于函數和公共定義域內的任意實數。我們把 的值稱為兩函數在處的偏差。求證：函數和在其公共定義域的所有偏差都大于2.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）利用參數分離法將不等式問題轉化為，等價轉化為處理，于是問題的核心就是求函數，利用導數求解，但同時需要注意題中的隱含條件將的值確定下來；（Ⅱ）先確定函數與函數的解析式，然后引入函數，通過證明，進而得到
，得到，于是就說明原結論成立.
試題解析：解（Ⅰ）函數的圖象與坐標軸的交點為，
又  
函數的圖象與直線的交點為，
又 
由題意可知，
又，所以               3分
不等式可化為
即
令，則，

又時，，，
故，在上是減函數
即在上是減函數
因此，在對任意的，不等式成立，
只需
所以實數的取值范圍是               8分
（Ⅱ）證明：和的公共定義域為，由（Ⅰ）可知，

令，則，
在上是增函數
故，即            ①
令，則，
當時，；當時，，
有最大值，因此    ②
由①②得，即
又由①得
由②得


故函數和在其公共定義域的所有偏差都大于2              13分