Question

（本題滿分18分）如果函數的定義域為，對于定義域內的任意，存在實數使得成立，則稱此函數具有“性質”．
（1）判斷函數是否具有“性質”，若具有“性質”求出所有的值；若不具有“性質”，請說明理由．
（2）已知具有“性質”，且當時，求在上的最大值．
（3）設函數具有“性質”，且當時，．若與交點個數為2013個，求的值．

Answer 1

（1）具有“性質”，其中
（2）當時， ；當時，
（3）

解析試題分析：（1）由得，
根據誘導公式得．
具有“性質”，其中．                ……4分
（2）具有“性質”，．
設，則，
，                                          ……6分
當時，在遞增，時，
當時，在上遞減，在上遞增，且， 時，
當時，在上遞減，在上遞增，且，時
綜上所述：
當時， ；當時，.   ……11分
（3）具有“性質”，
，，
，
從而得到是以2為周期的函數．
又設，則，
．
再設（），
當（），則，
；
當