Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點在線段上，平面.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析 ； （2）3 .

【解析】

試題分析： (1)證明線面垂直，一般利用線面垂直判定及性質(zhì)定理，經(jīng)多次轉(zhuǎn)化得證：先由線面垂直PA⊥平面ABCD得線線垂直PA⊥BD.同理PC⊥BD.，再由線線垂直得線面垂直BD⊥平面PAC. (2)求二面角正切值，一般利用空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量數(shù)量積進(jìn)行求解：先建立恰當(dāng)直角坐標(biāo)系，設(shè)各點坐標(biāo)，利用方程組得兩平面法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求其夾角余弦值，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求正切值.

試題解析：(1)證明 ∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴PA⊥BD.

同理由PC⊥平面BDE，可證得PC⊥BD.

又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.

(2)解

如圖，

分別以射線AB，AD，AP為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系．

由(1)知BD⊥平面PAC，

又AC平面PAC，∴BD⊥AC.

故矩形ABCD為正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.

∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．

∴＝(2,0，－1)，＝(0,2,0)，＝(－2,2,0)．

設(shè)平面PBC的一個法向量為n＝(x，y，z)，則

∴取x＝1得n＝(1,0,2)．

∵BD⊥平面PAC，

∴＝(－2,2,0)為平面PAC的一個法向量．

cos<n，>＝

設(shè)二面角B－PC－A的平面角為α，由圖知0<α<，

∴cos α＝，sin α＝

∴tan α＝＝3，即二面角B－PC－A的正切值為3.