Question

【題目】已知橢圓的短軸端點到右焦點的距離為2．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的直線交橢圓于兩點，交直線于點，若， ，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用橢圓的幾何要素間的關系進行求解；（Ⅱ）聯立直線和橢圓的方程，得到關于或的一元二次方程，利用根與系數的關系和平面向量的線性運算進行證明.

試題解析：（Ⅰ）由題意有： ，且，

所以， .

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題意直線過點，且斜率存在，設方程為,

將代人得點坐標為，

由，消元得，

設， ，則且，

方法一：因為，所以.

同理，且與異號，

所以

.

所以， 為定值.

方法二：由題意，當時， （若：不妨設，加一分）

有，且，

所以，且

所以，同理.

從而

.

當時，同理可得.

所以， 為定值.

方法三：由題意直線過點，設方程為 ，

將代人得點坐標為，　　　

由 消元得，

設， ，則且，

因為，所以.　

同理，且與異號，

所以　

　　　　　　　　 　.

又當直線與軸重合時， ，

所以， 為定值.