Question

如圖，在四棱錐S—ABCD中，側棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC與BD交于O點.

（1）求證：AC⊥平面SBD；

（2）若E為BC中點，點P在側面△SCD內及其邊界上運動，并保持PE⊥AC，試指出動點P的軌跡，并證明你的結論.

Answer 1

(1)證明：∵底面ABCD是菱形，O為中心,

∴AC⊥BD.

又SA=SC，

∴AC⊥SO.而SO∩BD=O，

∴AC⊥面SBD.

(2)解:取棱SC中點M，CD中點N，連結MN，

則動點P的軌跡即是線段MN.

證明：連結EM、EN，

∵E是BC中點，M是SC中點，

∴EM∥SB.同理,EN∥BD，∵AC⊥面SBD,∴AC⊥SB.

∴AC⊥EM.10分

同理,AC⊥EN，

又EM∩EN=E，

∴AC⊥面EMN.

因此，當P點在線段MN上運動時，總有AC⊥EP;

P點不在線段MN上時，不可能有AC⊥EP.