Question

【題目】在平行四邊形中，過點C的直線與線段、分別相交于點M、N，若，；

（1）求y關于x的函數解析式；

（2）定義函數（），點列（，）在函數的圖像上，且數列是以1為首項，0.5為公比的等比數列，O為原點，令，是否存在點，使得？若存在，求出Q點的坐標，若不存在，說明理由；

（3）設函數為上的偶函數，當時，，又函數的圖像關于直線對稱，當方程在（）上有兩個不同的實數解時，求實數a的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）；

【解析】

（1）利用平行四邊形對邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得與的關系；

（2）由題意求出解析式，寫出向量，利用向量列方程求出的值；

（3）利用對稱性和函數的奇偶性求出函數的解析式，根據方程在，上有兩個不同的實數解時，轉化為兩個函數在同一坐標系下有兩個交點，從而求出實數的取值范圍．

（1）利用平行四邊形對邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得：

，

又由，；

，解得，

關于的函數解析式；

（2）當，時，，

，，又，，

，，；

又，且，則，

，

，，

故存在滿足條件；

（3）當，時，，又由條件得，

．

當，時，，，

，，

從而；

由得．

設，，在同一直角坐標系中作出兩函數的圖象，

當函數圖象經過點時，．

由圖象可知，當，時，與的圖象在，有兩個不同交點，因此方程在，上有兩個不同的解；

實數的取值范圍是．