Question

某港口各泊位每天的水深（水面與洋底的距離）f（x）（單位：米）與時(shí)間x（單位：小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系近似地滿(mǎn)足f（x）=Asin（

π

6

x+φ）+B（A，B＞0，0≤φ＜2π）．在通常情況下，港口各泊位能正常進(jìn)行額定噸位的貨船的裝卸貨任務(wù)，而當(dāng)貨船的噸位超過(guò)泊位的額定噸位時(shí)，貨船需在漲潮時(shí)駛?cè)牒降溃�靠近碼頭卸貨，在落潮時(shí)返回海洋．該港口某五萬(wàn)噸級(jí)泊位接到一艘七萬(wàn)噸貨船卸貨的緊急任務(wù)，貨船將于凌晨0點(diǎn)在該泊位開(kāi)始卸貨．已知該泊位當(dāng)天的最低水深12米，最大水深20米，并在凌晨3點(diǎn)達(dá)到最大水深．
（1）求該泊位當(dāng)天的水深f（x）的解析式；
（2）已知該貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為12.5米，安全條例規(guī)定，當(dāng)船底與洋底距離不足1.5米時(shí)，貨船必須停止卸貨，并將船駛向較深的水域．據(jù)測(cè)算，一個(gè)裝卸小隊(duì)可使貨船吃水深度以每小時(shí)0.1米的速度減少．
（Ⅰ）如果只安排一裝卸小隊(duì)進(jìn)行卸貨，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，并將船駛向較深的水域（精確到小時(shí)）？
（Ⅱ）如果安排三個(gè)這樣的裝卸小隊(duì)同時(shí)執(zhí)行該貨船的卸貨任務(wù)，問(wèn)能否連續(xù)不間斷的完成卸貨任務(wù)？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出函數(shù)解析式，據(jù)最大值與最小值的差的一半為A；最大值與最小值和的一半為B；通過(guò)最大值求出φ，得到函數(shù)解析式．
（2）據(jù)題意列出不等式，利用三角函數(shù)的周期性及單調(diào)性解三角不等式，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答：解：（1）由于泊位當(dāng)天的最低水深12米，最大水深20米，
所以

-A+B=12 A+B=20

，解得

A=4 B=16

故f(x)=4sin(

π

6

x+φ)+16
由于在凌晨3點(diǎn)達(dá)到最大水深，則f(3)=4sin(

π

2

+φ)+16=20
故sin(

π

2

+φ)=1，又0≤φ＜2π，∴φ=0
則f(x)=4sin(

π

6

x)+16，x∈[0，24]；
（2）設(shè)貨船吃水深度以每小時(shí)a米的速度減少，則在x時(shí)刻貨船的吃水深度為（12.5-ax）米．
令g（x）=f（x）-（12.5-ax）-1.5，則g(x)=4sin(

π

6

x)+ax+2
要使貨船能在該泊位正常卸貨，當(dāng)且僅當(dāng)g（x）≥0
（Ⅰ）如果只安排一裝卸小隊(duì)進(jìn)行卸貨，那么a=0.1，g(x)=4sin(

π

6

x)+0.1x+2
當(dāng)x∈（0，7]時(shí)，因?yàn)?span id="dp7tvth" class="MathJye">4sin(

π

6

x)≥4sin(

7π

6

)=-2，所以g（x）≥-2+0.1x+2＞0，
又由g(8)=4sin(

8π

6

)+0.8+2=-2

3

+2.8＜0
所以該船必須在上午7點(diǎn)停止卸貨，并將船駛向較深的水域；
（Ⅱ）安排三個(gè)這樣的裝卸小隊(duì)同時(shí)卸貨，能按要求完成卸貨任務(wù)
此時(shí)，a=0.3，g(x)=4sin(

π

6

x)+0.3x+2
因?yàn)椴次坏乃��?span id="fjtvlr5" class="MathJye">f(x)=4sin(

π

6

x)+16，x∈[0，24]在當(dāng)天上午9點(diǎn)達(dá)到最小水深．
所以要連續(xù)不間斷的完成卸貨任務(wù)當(dāng)且僅當(dāng)在x∈[0，9]時(shí)正常卸貨．
當(dāng)x∈（0，7]時(shí)，因?yàn)?span id="r9npr7v" class="MathJye">4sin(

π

6

x)≥4sin(

7π

6

)=-2，所以g（x）≥-2+0.3x+2＞0，
當(dāng)x∈[0，7]時(shí)，因?yàn)?span id="zxzbvrx" class="MathJye">4sin(

π

6

x)≥-4，0.3x+2≥0.3×7+2=4.1，所以g（x）≥0.1＞0，
綜上，對(duì)任意的x＞0，g（x）＞0恒成立，
即安排三個(gè)這樣的裝卸小隊(duì)同時(shí)卸貨，能按要求完成卸貨任務(wù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵在于求出函數(shù)解析式．求三角函數(shù)的解析式注意由題中條件求出周期，最大最小值等．