Question

【題目】已知圓C：x2+y2﹣4y+1＝0，點M（﹣1，﹣1），從圓C外一點P向該圓引一條切線，記切點為T．

（1）若過點M的直線l與圓交于A，B兩點且|AB|＝2，求直線l的方程；

（2）若滿足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；（2）（，）

【解析】

（1）首先判斷斜率不存在時，符合題意.當斜率存在時，設出直線的方程，利用弦長列方程，解方程求得直線的斜率，進而求得直線方程.

（2）設出點的坐標，根據切線長以及列方程，化簡后求得的軌跡方程，將最小轉化為到直線的距離，求得垂直直線時直線的方程，和聯立求得點坐標.

（1）圓C的標準方程為x2+（y﹣2）2＝3．

當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝﹣1，

此時|AB|＝2，滿足題意；

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣1＝0．

∵|AB|＝2，

∴圓心C到直線l的距離d1．

∴d1．

解得k，

則直線l的方程為4x﹣3y+1＝0．

∴所求直線l的方程為x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；

（2）設P（x0，y0），|PT|，

∵|PT|＝|PM|，∴，

化簡得2x0+6y0+1＝0，

∴點P（x0，y0）在直線2x+6y+1＝0．

當|PT|取得最小值時，即|PM|取得最小值，

即為點M（﹣1，﹣1）到直線2x+6y+1＝0的距離，

此時直線PM垂直于直線2x+6y+1＝0，

∴直線PM的方程為6x﹣2y+4＝0，即3x﹣y+2＝0．

由 ，解得 ，

∴點P的坐標為（，）．