Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù).

（１）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（２）設(shè)，求在上的最大值；

（３）試證明：對任意，不等式恒成立．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（2）

（3）略

【解析】解：(1)∵

令得

顯然是上方程的解

令，，則

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增

∴是方程的唯一解

∵當(dāng)時，當(dāng)時

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減………………５分

(2)由(1)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

故①當(dāng)即時在上單調(diào)遞增

∴＝

②當(dāng)時在上單調(diào)遞減

∴＝

③當(dāng)，即時

……………………………………………………10分

(3)由（1）知當(dāng)時，

∴在上恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時“＝”成立

∴對任意的恒有

∵　　∴

即對，不等式恒成立．………………………14分