Question

已知{a_n}的首項為a₁，公比q為正數（q≠1）的等比數列，其前n項和為S_n，且5S₂=4S₄．
（1）求q的值；
（2）設b_n=q+S_n，請判斷數列{b_n}能否為等比數列，若能，請求出a₁的值，否則請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把等比數列的求和公式代入且5S₂=4S₄．進而求得q．
（2）根據（1）中求得的q，代入等比數列求和公式，進而得到b_n的通項公式，要使{b_n}為等比數列，需

1

2

+2a1=0，進而求得a₁，進而得出結論．

解答：解：（1）由題意知5S₂=4S₄
∴

5a1(1-q2)

1-q

=

4a1(1-q4)

1-q

∵a₁≠0，q＞0且q≠1∴（1+q²）=5，
∴得q=

1

2

；
（2）∵Sn=

a1(1-qn)

1-q

=2a1-a1(

1

2

)n-1
∴bn=q+sn=

1

2

+2a1-a1(

1

2

)n-1
要使{b_n}為等比數列，當且僅當

1

2

+2a1=0
即a1=-

1

4

，此bn=(

1

2

)n+1為等比數列，
∴{b_n}能為等比數列，此時a1=-

1

4

.

點評：本題主要考查了等比數列的性質和等比數列的求和公式的運用．等比數列的公式教為復雜，應加強記憶．