Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c
（Ⅰ）當b=1時，若函數f（x）在（0，1]上為增函數，求實數a的最小值；
（Ⅱ）設函數f（x）的圖象關于原點O對稱，在點P（x₀，f（x₀））處的切線為l，l與函數f（x）的圖象交于另一點Q（x₁，y₁）．若P，Q在x軸上的射影分別為P₁、Q₁，

OQ1

=λ

OP1

，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數f（x）在（0，1]上為增函數，則導數大于等于零在（0，1]上恒成立，再轉化為最值法求解．
（Ⅱ）由已知可得函數為奇函數，可求得a，c，再由“在點P（x₀，f（x₀））處的切線為l”確定切線方程，與函數f（x）聯立得x³+bx-[（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀]=0．再由y₀=f（x₀）=x₀³+bx₀，消元解得x₀．再代入

OQ1

=λ

OP1

，求解結果．

解答：解：（Ⅰ）∵b=1，∴f'（x）=3x²+2ax+1．
又因為函數f（x）在（0，1]上為增函數，
∴3x²+2ax+1≥0在（0，1]上恒成立，等價于a≥-(

3

2

x+

1

2x

)在（0，1]上恒成立．
又∵-(

3

2

x+

1

2x

)≤-2

3 2 x• 1 2x

=-

3

，
故當且僅當x=

3

3

時取等號，而

3

3

∈(0，1]，∴a的最小值為-

3

．（6分）

（Ⅱ）由已知得：函數f（x）=x³+ax²+bx+c為奇函數，
∴a=0，c=0，∴f（x）=x³+bx，（7分）∴f'（x）=3x²+b．
∵切點為P（x₀，y₀），其中y₀=f（x₀），
則切線l的方程為：y=（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀（8分）
由

y=(3x02+b)(x-x0)+y0 y=x3+bx

，得x³+bx-[（3x₀²+b）（x-x₀）+y₀]=0．
又y₀=f（x₀）=x₀³+bx₀，∴x³-x₀³+b（x-x₀）-（3x₀²+b）（x-x₀）=0，
∴（x-x₀）（x²+x₀x-2x₀²）=0，∴（x-x₀）²（x+2x₀）=0，∴x=x₀或x=-2x₀，
由題意知，x₀≠0從而x₁=-2x₀．
∵

OQ1

=λ

OP1

，
∴x₁=λx₀，
∴λ=-2．（12分）

點評：本題主要通過單調性的應用來考查恒成立問題，這類問題往往又要轉化為單調性求新函數最值來解決，還考查了導數的幾何意義，來解決直線與曲線的位置關系．