Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n,且S_n=2n²+n，n∈N^*,數列{b_n}滿足a_n=4log₂b_n+3，n∈N^*.
(1)求a_n,b_n; (2)求數列{a_n·b_n}的前n項和T_n.

Answer 1

(1)a_n=4n-1，b_n=2^n-1(n∈N^*)；（2）T_n=5+(4n-5)×2ⁿ.

試題分析：(1)本小題中已知S_n是數列{a_n}的前n項和，且S_n的表達式已知，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，而當n=1時，a₁=S₁且檢查是否符合前式，在a_n求出之后利用a_n=4log₂b_n+3求得b_n；（2）可知a_n·b_n的表達式是等差乘以等比形式，求這類數列的前n項和T_n，只需用錯位相減法可完成求和，即若等比數列的公比為q，則由T_n -qT_n進行錯位相減，整理出T_n即可.
試題解析：(1)由S_n=2n²+n,可得：當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(2n²+n)-[2(n-1)²+(n-1)]="4n-1," 當n=1時，a₁=3符合上式，所以a_n=4n-1(n∈N^*).由a_n=4log₂b_n+3，可得4n-1=4log₂b_n+3, 解得b_n=2^n-1(n∈N^*).
(2)a_nb_n=(4n-1)·2^n-1, ∴T_n=3+7×2¹+11×2²+15×2³+…+(4n-1)×2^n-1，                  ①
2T_n=3×2¹+7×2²+11×2³+15×2⁴+…+(4n-1)×2ⁿ，             ②
①-②可得：
-T_n=3+4[2¹+2²+2³+2⁴+…+2^n-1]-(4n-1)×2ⁿ=3+4×-(4n-1)×2ⁿ=-5+(5-4n)×2ⁿ,
∴T_n=5+(4n-5)×2ⁿ.與的關系：，錯位相減法求和.