Question

【題目】設首項為1的正項數列{an}的前n項和為Sn，數列的前n項和為Tn，且，其中p為常數．

（1）求p的值；

（2）求證：數列{an}為等比數列；

（3）證明：“數列an，2xan+1，2yan+2成等差數列，其中x、y均為整數”的充要條件是“x＝1，且y＝2”．

Answer 1

【答案】（1）p＝2；（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）取n＝1時，由得p＝0或2，計算排除p＝0的情況得到答案.

（2），則，相減得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化簡得到，得到證明.

（3）分別證明充分性和必要性，假設an，2xan+1，2yan+2成等差數列，其中x、y均為整數，計算化簡得2x﹣2y﹣2＝1，設k＝x﹣（y﹣2），計算得到k＝1，得到答案.

（1）n＝1時，由得p＝0或2，若p＝0時，，

當n＝2時，，解得a2＝0或，

而an＞0，所以p＝0不符合題意，故p＝2；

（2）當p＝2時，①，則②，

②﹣①并化簡得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，則3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，

④﹣③得（n∈N*），

又因為，所以數列{an}是等比數列，且；

（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次為，，，

滿足，即an，2xan+1，2yan+2成等差數列；

必要性：假設an，2xan+1，2yan+2成等差數列，其中x、y均為整數，又，

所以，化簡得2x﹣2y﹣2＝1，

顯然x＞y﹣2，設k＝x﹣（y﹣2），

因為x、y均為整數，所以當k≥2時，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，

故當k＝1，且當x＝1，且y﹣2＝0時上式成立，即證．